Pythagoras diophantisch

Nun taucht ein zweiter alter Grieche auf ...

Es sei nicht verschwiegen, dass es eine ältere, verbreitetere und einfachere Weise gibt, geradzahlige pythagoreische Tripel* zu finden. Man verwendet diophantische Gleichungen. Das sind Gleichungen, für die nur ganzzahlige Lösungen** zugelassen sind. Unser Dióphantos lebte um 250 n. Chr. in Alexandria, operierte geschickt mit solchen Gleichungen und stieß übrigens als erster zur sechsten Potenz (Kybokybos, also sowas wie Kubikkubik) vor.

Die Berechnung unserer Tripel erfolgt einfach mit zwei ganzen Zahlen. Nennen wir sie m und n. Die einfachen Gleichungen sind:
a = m2- n2
b = 2mn
c = m2 + n2

Wählt man m = 3 und n = 2, dann ergibt sich das Tripel 5, 12, 13 und als Gleichung 52 + 122 = 132 und
25 + 144 ergibt 169.

Da auch die Vielfachen der Tripel der Gleichung und der Ganzzahligkeit genügen (10, 24, 26 usw.), kann man unsere Tripel durch Multiplikation mit einem ganzzahligen Faktor (k) vermehren.

Herr Peter Rudolph war so freundlich, eine Reihe interessanter Folgerungen aus diesen Zusammenhängen aufzuzeigen. Er war einverstanden, dass ich sie bier zitiere:

"Für die Pythagoreer war in eben diesen ganzen Zahlen und ihren Verhältnissen, also in der Menge der rationalen Zahlen das Abbild der Welt; das Wesen der Weltschöpfung begründet. So waren Pythagoras und seine Jünger blind für die Existenz irrationaler Zahlen, die es in seiner Welt schlicht nicht geben durfte. Na, dann lassen Sie uns doch mit dem Tunnelblick des Pythagoras diesen „ganzen“ Zahlentripeln auf den Zahn fühlen:

Das einfachste Dreieck mit ganzzahligen Seiten, das den Satz von Pythagoras erfüllt ist also wie oben gesagt 3,4,5. Von solchen Pythagoreischen Tripels gibt es unendlich viele (auch schon gesagt, aber „unendlich“ ist so viel, dass Wiederholungen unschädlich sind) und sie sind einfach zu generieren. Eine klassische Formel, die seit Urzeiten bekannt ist, kann sie ganz nach Belieben erzeugen. Es seien die Zahlen im Tripel a, b, und c, dann gilt: a = n2 - m2, b = 2mn, c = m2 + n2, mit m und n als ganzen Zahlen und m kleiner als n.

Eingesetzt in a2 + b2= c2 ergibt sich n4+m4-2n2m2 + 4m2n2 = m4+n4+2m2n2 . Daraus folgt sofort:

________________
*) Ganzzahlige Tripel sind meiner Meinung (PR) nach kein Pleonasmus wie der berühmte weiße Schimmel. Tripel bezeichnet die Dreiheit wie Paar die Zweiheit. (Auch da unterstellt man eine spezielle Zweiheit, wenn man sagt: die beiden seien ein Paar.)
Auch 3, 5, 5.83 oder 1.2, 3.1, 3.29 bilden ein durch Satz des Pythagoras verbundenes Zahlentripel, nur eben keins ganzer Zahlen.

**) Bodo Habenicht, dem wir die "Blattfiguren" verdanken, die Sie sich in einer kleinen Demonstration ansehen können, wenn Sie mein (DOS-)Programmpaket 3 herunterladen, hat übrigens in seiner kleinen Schrift "Funktionen mit ganzzahligen Hauptpunkten", Linden-Hannover 1913, Funktionen angegeben, die in der Kurvendiskussion nur geradzahlige Ergebnisse liefern und sie dadurch handhabbarer und übersichtlicher gestaltet.

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Fertiggestellt am 14.10.2000