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Zykloiden und Perigramme im Vergleich

  1. Man muss beachten, dass die Zykloide (Mehrzahl "die Zykloiden") und der Epizykel (Mehrzahl "die Epizykeln") keine korrespondierenden Begriffe sind und darf von ihnen nicht wie von analogen Pendants sprechen. In beiden Fällen gibt es die zugrunde liegende Kreisfigur mit dem zeichnenden Punkt und die von diesem beschriebene Figur. Die Zykloide bezeichnen den von diesem mit dem Rollkreis verbundenen Punkt erzeugten Kurvenzug. Der Epizykel ist dagegen ein Folgekreis in der zugrundeliegenden Figur. Für die von einem Punkt auf der Peripherie des letzten Epizykels gezeichnete Figur fehlte bisher eine (dem Zykloid analoge) Bezeichnung. Ich nenne sie jetztdas Perigramm (Mehrzahl "die Perigramme").
  2. Zykloiden, genau gesagt: Perizykloiden, wie Perigramme werden gezeichnet von einem Punkt eines Kreises, der sich um (mindestens) einen Kreis dreht. Bei den Zykloiden hat dieser zeichnende Punkt einen beliebigen Abstand vom Mittelpunkt des zweiten ( = letzten) Kreises. Bei den Epizykelfolgen liegt der zeichnende Punkt auf der Peripherie des letzten Kreises.
    Perizykloiden entstehen, wenn ein Kreis mit der Peripherie außen oder innen um die Peripherie eines anderen Kreises rollt (daher der Name Rollkurve). Perigramme entstehen, wenn der Mittelpunkt eines sich um sich selbst drehenden Kreises auf der Peripherie eines anderen Kreises wie auf einer Planetenbahn läuft. Man könnte von Bahnkurven sprechen.
    An der Zeichnung einer Zykloide sind immer nur 2 Kreise beteiligt, die Zeichnung eines Perigramms kann mittels beliebig vieler hintereinandergeschalteter Kreise erfolgen. (Mein herunterladbares Programm epizykel.exe (s.u:) ermöglicht es, 6 Kreise vorzugeben.)
  3. Perigramme sind ungleich vielgestaltiger als Zykloiden. Nicht nur, dass man alle Perizykloiden formengleich als Perigramme darstellen kann (s. 4), haben Perizykloiden nur zwei Parameter R/r und a/r, Zykloiden haben 4n Parameter, wobei n die Anzahl der beteiligten Kreise ist: rn, wn, gn und die Drehrichtung des Kreises n, allerdings darstellbar durch das Vorzeichen von gn.
  4. Zykloiden können als Sonderfall der Perigramme aufgefaßt werden. Jede Zykloide läßt sich als Zweikreis-Perigramm darstellen. Dabei ergeben sich folgende Umrechnungsformeln, die Sie schwerlich anderswo finden als hier.
    Für Epizykloiden:
    r1 = R + r w1 = 0 g1 = -0.1
    r2 = a w2 = 180 g2 = 0.1*(R/r +1)


    Für Hypozykloiden:
    r1 = R - r w1 = 0 g1 = -0.1
    r2 = a w2 = 0 g2 = 0.1*(R/r -1)
    So hat die hier abgebildete sechsschleifige verlängerte Hypotrochoide als Zykloide die Parameter
    R/r = 6 und a/r = 4 bei R = 36,
    als Perigramm die Kurzformel 30,24 / 0 / -0.1, 0.5






  5. Im Unterschied zu den Zykloiden haben die Epizykeln eine große ( Astronomie-) historisch bedeutsame Vergangenheit. Sie wurden fast 2000 Jahre hindurch, von den Alexandrinern bis zu Copernicus, verwendet, um die wechselnden Geschwindigkeiten von Sonne, Mond und Planeten, sowie rückläufige Planetenbewegungen zu erklären.

  6. Zykloiden findet man in jedem Mathematikbuch, das etwas auf sich hält, Perigramme (auch unter einem anderen Namen) aber nicht.. Das erscheint verwunderlich bei ihrer Vorgeschichte wie bei ihrer Formenfülle. Allerdings erlauben die Zykloiden eine Gliederung, die den Didakten erfreut. Die Perigramme sind bestenfalls sekundär der Form nach in sich überschneidende Gruppen zusammenzufassen.
    Man könnte glauben, dass die Perigramme durch den nicht der Realität entsprechenden Versuch, die Planetenbahnen als Epizykeln zu deuten, in Verruf gekommen seien, und dass sich die exakten Wissenschaftler ihrer deshalb schämen. Eher besteht Grund auf die Epizykeln stolz zu sein, die es möglich gemacht haben die scheinbaren Planetenbewegungen trotz des geozentrischen Weltbildes mit teilweise erstaunlicher Genauigkeit zu modellieren und zu berechnen.
    Auch sollte man sich an ihrer Formenfülle erfreuen und bedenken, dass sie vielfach Schmuckelemente, komplizierte Ornamente darstellen, die bisher kaum ein Mensch gesehen hat. Wie müßte sich ein Graphiker mühen, selbst wenn seine Phantasie ihm eine solche Figur eingibt, sie zeichnerisch zu realisieren oder ein Stubenmaler, wenn er sie ins Großformat übertragen sollte!
  7. Einst bezeichnete jemand meine Perigramme als Fraktale. Ich habe mich damals dagegen verwahrt. Nicht jede (abenteuerliche) Figur ist ein Fraktal. Es fehlt die Selbstähnlichkeit usw. Da Poincaré mit seinen Arbeiten über die Himmelsmechanik an der Wurzel der dynamischen Systeme und damit des ganzen Komplexes ChF (Chaos-Fraktale) steht, die Himmelsmechanik sich aber bis ins 16. Jahrhundert der Epizykeln bediente (s.o.), meint aber Hans Lauwerier, dem ich viel verdanke, über die Vielzahl der damals verwendeten Epizykeln : "Wir spüren darin das Prinzip der Selbstähnlichkeit: eine kosmische Bewegung mit der Struktur eines Fraktals!" (in "Fraktale verstehen und selbst programmieren, Bd. I, S.119, Hückelhoven 1992") Und er müßte es ja wissen. Mir könnte es nur recht sein. Doch ich habe Vorbehalte.
    Alle Kreise sind einander geometrisch ähnlich. Aber das ist keine Selbstähnlichkeit. Man kann einen Kreis nicht beliebig zerschneiden, um nichts als Kreise zu erhalten. Ein Kreis setzt sich nicht aus Kreisen zusammen. Und für Perigramme trifft dasselbe zu, auch wenn man viele Epizykeln hintereinander oder nebeneinander stellt.

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letzte inhaltliche Änderung am 16.10.2002

Resumo en Esperanto: La diferencon inter cikloidoj kaj perigramoj en la desegnado ni konas el la du antaüaj pa^goj. - Epicikloj estas multe pli variaj en la formo ol cikloidoj. Epicikloj havas 4 varieblajn parametrojn po cirklo, kaj la nombro de la ^cirkaüirantaj cirkloj ne estas limigita. Cikloidoj havas nur du parametrojn entute, kaj tie rondiras nur du cirkloj. Krome ^ciu cikloido estas kalkulebla kaj desegnebla kiel epiciklo: ^ciuj cikloidoj estas same epicikloj. En du tabeloj enestas formuloj por transkalkuli.- Epicikloj havas grandan signifon en la astronomia historio. Dum 1800 jaroj inter la Aleksandriaj sciencistoj kaj Koperniko oni provis per ili modeli la orbitojn de suno, luno kaj la planedoj. Des pli mirinde estas, ke ili estas preskaü forgesitaj, por ne diri (honte) for^shovitaj. En matematikaj lernolibroj mankas malofte la cikloidoj, sed preskaü ^ciam la epicikloj kaj tio, kion mi nomas perigramoj. (Tiun nomon mi elektis, ^car mi nenie trovis tiajn figurojn kaj sekve neniun alian nomon por ili en libroj kaj ^car "perigramo" sufi^ce bone aludas ilian konstrumanieron, estas bone skribebla, prononcebla kaj memortenebla kaj malofte uzita kiel nomo por alia objekto.) Sed vidu nur la ri^can mondon de ^ghiaj ornamaj formoj, kiujn preskaü neniu homo ^gis nun vidis!.